В последнее время, в связи с реализацией компетентностного подхода, актуальным становится вопрос о поиске и научном обосновании средств и условий совершенствования профессиональной подготовки будущих учителей математики, призванной обеспечить развитие компетентностей учащихся.

Отметим, что если раньше говорили о формировании у будущих учителей профессиональных умений, то в рамках компетентностного подхода говорят о формировании профессиональной и других компетентностей (совокупности компетенций). Профессиональная компетентность включает в себя определенные профессиональные умения, а также способность успешно применять эти умения при осуществлении профессиональной деятельности и личностные качества педагога.

Под профессиональной компетентностью мы понимаем интегральную характеристику, определяющую способность учителя решать профессиональные проблемы и типичные профессиональные задачи, возникающие в реальной профессиональной деятельности, с использованием знаний, профессионального и жизненного опыта, ценностей и наклонностей. Она включает в себя предметную, психолого-педагогическую и методическую составляющие [3].

Рассматривая профессиональную подготовку будущих учителей математики, необходимо исходить из современного понимания профессиональной компетентности учителя, которая вытекает из его профессионального мастерства и уверенного владения предметом. В связи с этим специальному исследованию может быть подвергнута предметно-методическая компетентность, которая находится на стыке предметной и методической компетентности.

Под предметно-методической компетентностью учителя математики будем понимать профессиональную компетентность, которая выражена в практической готовности к осуществлению видов профессиональной деятельности, связанной с обучением математике в системе общего среднего образования, основанной на системе теоретических знаний.

Учитывая современные требования к подготовке учителя математики, к традиционным умениям (владение совокупностью знаний в области преподаваемого предмета; ориентация в современных исследованиях по предмету; применение теоретических знаний для решения математических задач; организация процесса обучения на уроке; владение методикой преподавания конкретного предмета; мотивирование процесса обучения; использование информационных и других технологий обучения; самостоятельное получение знаний; применение ценностных установок в процессе обучения) нужно добавить новые: умение выбирать или разрабатывать необходимую для конкретного образовательного процесса технологию; умение реализовывать компетентностный подход на уроках математики; умение работать (отбор, решение, конструирование) с компетентностными задачами и такое методическое умение, как объяснение учащимся способов решения компетентностных задач, а также применение таких задач на уроках.

Для формирования и проверки сформированности компетентностей необходимо разрабатывать специальные (отличные от традиционных) задания и задачи. Анализ литературы показал, что сейчас активно ведется работа в этом направлении, хотя разные авторы по-разному называют задания (задачи): компетентностные, контекстные, ситуационные, компетентностно-ориентированные), позволяющие проверять уровень сформированности различных компетенций. Мы в своем исследовании используем термин «компетентностные задачи», учитывая их целевое назначение в процессе обучения.

Под компетентностными задачами, рассматриваемыми при изучении математики, мы будем понимать задачи, целью решения которых является разрешение стандартной или нестандартной ситуации (предметной, межпредметной или практической по описанному в ней содержанию) посредством нахождения соответствующего способа решения с обязательным использованием математических знаний. Основной особенностью таких задач является получение познавательного результата для школьника и профессионально значимого результата для студента - будущего учителя математики.

Важными отличительными особенностями компетентностных задач от стандартных математических (предметных, межпредметных, прикладных) являются:

1. значимость (познавательная, профессиональная, общекультурная, социальная) получаемого результата, что обеспечивает познавательную мотивацию учащегося;

2. условие задачи сформулировано как сюжет, ситуация или проблема, для разрешения которой необходимо использовать знания (из разных разделов основного предмета - математики, из другого предмета или из жизни) на которые нет явного указания в тексте задачи;
3. информация и данные в задаче могут быть представлены в различной форме (рисунок, таблица, схема, диаграмма, график и т.д.), что потребует распознавания объектов;
4. указание (явное или неявное) области применения результата, полученного при решении задачи.

Кроме выделенных четырех обязательных характеристических особенностей, компетентностные задачи обычно имеют следующие:

5. по структуре эти задачи – нестандартные, т.е. в структуре задачи неопределенны некоторые из ее компонентов;
6. наличие избыточных, недостающих или противоречивых данных в условии задачи, что приводит к объемной формулировке условия;
7. наличие нескольких способов решения (различная степень рациональности), причем данные способы могут быть неизвестны учащимся, и их потребуется сконструировать.

Мы, вслед за О.В. Харитоновой [4], выделяем следующие типы компетентностных задач:

1. Предметные компетентностные задачи: в условии описана предметная ситуация, для решения которой требуется установление и использование широкого спектра связей математического содержания, изучаемого в разных разделах математики; в ходе анализа условия необходимо «считать» информацию, представленную в разных формах; сконструировать способ решения (путем объединения уже известных способов). Полученный результат обеспечивает познавательную значимость решения и может быть использован при решении других задач (заданий).

2. Межпредметные компетентностные задачи: в условии описана ситуация на языке одной из предметных областей с явным или неявным использованием языка другой предметной области. Для решения нужно применять знания из соответствующих областей, требуется исследование условия с точки зрения выделенных предметных областей, а также поиск недостающих данных, причем решение и ответ могут зависеть от исходных данных выбранных (найденных) учащимся.

3. Практические компетентностные задачи: в условии описана практическая ситуация, для разрешения которой, нужно применять не только знания из разных предметных областей (обязательно включающих математику), но и приобретенные из повседневного опыта учащихся. Данные в задаче, не должны быть оторваны от реальности (должны соответствовать действительности, например цены, размеры дома и т.д.). Полученный результат должен быть значим для учащихся, т.е. указана его область применения.

Часто компетентностные задачи понимают только как задачи прикладного или межпредметного характера, в которых для разрешения некой практической ситуации нужно использовать знания того или иного (или нескольких одновременно) предмета. Мы считаем, что важным является применение и предметных компетентностных задач, где учащиеся учатся отбирать необходимые для решения знания из разных разделов в рамках одной предметной области (математика), причем на применение этих знаний не должно быть явного указания в тексте задачи.

Мы выделили четыре уровня сложности компетентностных задач на основе критериев, которые были сформулированы (по сложности отбора базы знаний и конструирования способа решения) в результате личного опыта (при конструировании компетентностных задач) и, учитывая проблемы, которые возникали у студентов при решении таких задач. На схеме 1 показана структура системы компетентностных задач.

В ходе исследования нами была составлена система компетентностных задач в рамках курса по выбору для студентов-математиков. Целостность системе придает цель ее использования – формирование компетентности учащихся.

Приведем пример предметной компетентностной задачи:

1. На рисунке 1 изображен многогранник. Известно, что площади боковых граней, образующих прямой угол (), равны и . Можно ли вписать данный многогранник в цилиндр? Если можно, то выразите площадь боковой поверхности цилиндра через и . Сформулируйте аналогичные задачи, используя данные, приведенные в каждой строке таблицы 1, и решите их. Охарактеризуйте результат каждой из построенных задач. Как Вы думаете, если в основании многогранника будет лежать произвольный треугольник, можно ли его вписать в цилиндр? Ответ обоснуйте.

Таблица 1.

Примечание к задаче 1. Данная задача соответствует следующим характеристическим особенностям компетентностной задачи:

- познавательная и профессиональная значимость получаемого результата (выводится формула нахождения площади боковой поверхности цилиндра через параметры многогранника, который вписан в этот цилиндр – формируется умение выводить формулы в общем виде и работать с ними; доказывается, что любую прямую треугольную призму можно вписать в прямой круговой цилиндр – это может быть использовано при решении других задач);

- условие задачи сформулировано как математическая ситуация, для разрешения которой используются знания, на которые нет явного указания в тексте задачи (например, из планиметрии, из алгебры - решение систем уравнений);

- данные в задаче представлены в различной форме (текст, рисунок, таблица).

Кроме того:

- задача нестандартная (требуется дополнительное исследование условия, самостоятельный отбор знаний, которые нужны для решения задачи, а также неизвестен способ решения задачи);

- наличие избыточных, недостающих или противоречивых данных в условии задачи, что приводит к объемной формулировке условия (в таблице приведены три различных случая, в которых предложены ситуации с избыточными, недостающими и противоречивыми данными);

Следовательно, в процессе работы с такой задачей развиваются следующие умения (являющиеся составной частью предметно-методической компетентности):

- предметные: выбор необходимых для решения знаний из разных разделов математики (планиметрия, стереометрия, алгебра), узнавание геометрического объекта и обоснование этого, путем применения определения и свойств многогранника), построение математической модели и работа с ней;

- межпредметные: вывод формул в общем виде и работа с ними, работа с текстом, таблицей, работа с информацией (анализ, поиск и др.);

- методические: поиск решения задачи, постановка вопросов к различным этапам решения, умение отличать компетентностные задачи от стандартных математических.

Анализ задачников по элементарной математике и другой литературы показал, что компетентностных задач недостаточно, поэтому нами были разработаны пути и способы конструирования таких задач (см. схему 2).

Сконструированная новая задача должна соответствовать определению компетентностной задачи и содержать в себе несколько отличительных особенностей, которые отличают ее от стандартных математических задач.

Необходимо научить студентов не только решать компетентностные задачи, но и обучить их методическим действиям со школьными задачами (отбор, построение, способы работы). Формированию этих умений у будущих учителей математики должны способствовать специальным образом составленные задания, которые мы будем называть методическими.

Методические задания – это такие задания, которые направлены на овладение приемами методической работы с предложенным математическим учебным содержанием (понятием, теоремой, задачей и т.д.).

В ходе экспериментов, а также бесед со студентами, учителями школ, преподавателями были выделены требования к методическим заданиям:

1. Открытость (задание может иметь несколько вариантов ответов; могут быть различные способы выполнения задания и имеется возможность переформулировки (изменения) задания, в зависимости от знаний и индивидуальных особенностей студента).

2. Связь с практикой обучения математике в общеобразовательной школе (задания не должны быть «оторваны» от материала, который изучается в школьном курсе математики, что будет способствовать мотивации студентов, повторению школьного курса и подготовке к педагогической практике).
3. Проблемность и новизна (задания формулируются как проблема, которую необходимо разрешить средствами конкретного предмета, способ выполнения задания студенту не известен или состоит из комбинации известных способов, что требует проявления творчества).
4. Использование знаний из курса методики обучения математике (т.е. для выполнения заданий должны применяться уже имеющиеся знания из вузовского курса методики, а предлагаемые задания должны способствовать расширению методических умений).

Методические задания для работы с компетентностными задачами мы подразделяем на четыре категории:

1. Задания, которые предполагают работу до решения задачи. Задания направлены на формирование умений отличать компетентностные задачи от других математических, определять значимую цель решения задачи, анализировать предложенные ситуации, выделять типы и уровни сложности задач.

2. Задания, связанные непосредственно с процессом решения задачи. Задания формируют умения: составлять план решения компетентностной задачи, ставить вопросы к каждому этапу решения, подбирать необходимые знания для решения задачи из разных разделов математики, других учебных предметов и областей знаний, составлять математическую модель предложенной ситуации, оценивать ситуацию.
3. Задания, связанные с работой после решения задачи. Задания формируют умения: интерпретировать полученный результат, анализировать полученные решения и выбирать из них рациональное, делать выводы о применении метода решения к другим задачам и об использовании математических знаний для разрешения нематематических ситуаций.
4. Задания, связанные с умением составлять компетентностные задачи. Задания формируют умения: подбирать под математическую задачу межпредметную или практическую ситуацию и наоборот, составлять компетентностные задачи разных типов и разных уровней сложности по предложенным алгоритмам, проверять является ли задача компетентностной на основании определения и отличительных особенностей компетентностной задачи, составлять компетентностные задачи для школьников самостоятельно и предлагать методику работы с этими задачами.

Приведем примеры методических заданий к компетентностным задачам:

№1. Опишите реальную ситуацию, в которой нужно было бы решить следующую математическую задачу: «Стороны равностороннего треугольника равны 3 м. Найдите расстояние до плоскости треугольника от точки, которая находится на расстоянии 2 м от каждой из его вершин».

№2. Опишите этапы решения следующей задачи: «Имеется бревно, длина которого 20 дм, а диаметры спилов 2 дм и 1 дм. Требуется вырубить из бревна брус с квадратными поперечными сечениями, ось которого совпадала бы с осью бревна так, чтобы количество отходов было наименьшим. Как это сделать?» С какими трудностями при решении Вы столкнулись? С чем они связаны? Целесообразно ли давать такую задачу школьникам (ответ обоснуйте)?

Подобные компетентностные задачи и методические задания к ним использовались нами на курсе по выбору «Компетентностные задачи по стереометрии», который был разработан для студентов 4 курса физико-математического факультета.

Литература:

1. Компетентностный подход в педагогическом образовании: Коллективная монография / Под ред. Проф. В.А. Козырева, проф. Н.Ф. Радионовой и проф. А.П. Тряпициной. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2005.-392с.

2. Пономарчук О.С. Предметно-профессиональные задачи как составляющие предметной компетентности учителя математики // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию « 59 Герценовские чтения» / Под ред. В.В. Орлова. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2006. – 281с.
3. Стефанова Н.Л. Понамарчук О.С. Составляющие предметной компетентности учителя математики // Академические чтения. – СПб.: Издательство СПбГИПСР, 2005. – Вып. 6: Компетентностный подход в современном образовании. – с.175-177.
4. Харитонова О.В. Развитие учебно-познавательной компетентности старшеклассников на уроках геометрии. Дис. … канд. пед. наук. - СПб., 2006. – 167с.